结构拓扑优化研究方法综述

摘要： 论述拓扑优化定义，实现方法，主要讨论均匀化法和密度法。最后探讨结构拓扑优化中出现的棋盘格、网格依赖和局部极值等数值不稳定现象，介绍一些常见解决方法。

关键词：拓扑优化，均匀化法，密度法，数值不稳定

1 引言

结构设计就是在保证正常功能的前提下，选择适当的结构形式，设计合理的结构尺寸。传统设计设计者根据自己的理论知识和工程设计经验经过不断地选择、试算、分析、校核，直到达到设计要求为止。而优化设计则是在既定条件下，在某种可行理论保证下，从众多的可行方案中寻找最佳方案的一种设计理念。结构优化主要包括结构的拓扑、尺寸和形状优化。

随着计算机性能的提高，拓扑优化在最近十几年得了到了迅速速发展。结构拓扑比尺寸和形状优化节省材料更显著，被认为是一个更具有挑战性的领域，在机械、航空航天、电磁、建筑等领域使用越来越广泛。

2 拓扑优化方法

1964年Dorn、Gomory、Greenbery提出了基于结构法，将拓扑优化问题转换为截面尺寸优化问题解决，此方法仅能解决离散结构拓年优化问题。连续体拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法。此后相继提出渐近结构优化方法、相对密度法、SIMP法等拓扑优化数学建模方法。

拓扑优化通过有限元分析和优化方法结合求解，就是在一个给定的设计空间区域内，依据已知的外载荷或支撑等约束条件，解决材料分布问题，从而使结构刚度最大化或输出位移、内部应力达到设计要求的一种结构设计方法。目前拓扑数值方法都是将问题用有限个参数近似表示，以便利用较为成熟的参数优化方法求解。拓扑优化方法可以在没有特定初始拓扑的情况下得到的结构最优拓扑，而形状优化在结构拓扑不变的前提下优化结构边界的精确形状。相对于形状优化，拓扑优化的优势在于可以给出结构的最优拓扑和边界的大致形状。拓扑优化中常用的两种方法是，均匀化法和密度法。

2.1　均匀化法

均匀化方法的基本思想就是在组成拓扑的材料中引入微结构单胞，优化过程中以微结构单胞的几何尺寸和空间方位作为设计变量，以单胞尺寸的变化来实现微结构的增删，最后得到一个目标最优的结构。方法采用的一般迭化算法对所有连续体结构都是可用的。若材料特性和载荷情况较为简单，结构规模较小，该方法迭代步较少，计算时间也较短，是一个极为有效的方法，但当结构规模较大，尤其是一些复杂的空间结构，其材料特性和载荷都会出现较为复杂的情况，计算量变大，单步的迭代时间会明显增加，迭代步数也会增多，总计算负荷会很大。

2.2　密度法

密度法是人为假定单元的密度和材料物理属性（如：许用应力，弹性模量）之间的某种对应关系，以连续变量的密度函数形式显式地表这种对应关系。变密度法基于各向同性材料，以每个单元的相对密度作为设计变量，每个单元有唯一的设计变量。程序实现简单。当然这里所讲的密度是单元正则化以后的相对密度。密度法不仅可以采用结构的柔性顺度为优化的目标函数，也可以用于特值的优化、柔性机构的优化、多耦合优化等。变密度主要的密度－刚度插值格式有“带惩罚指数的固体各向同性微分结构模型”（SIMP：Solid Isotropic Microstructures with Penalization）、“材料属性的理性近似模型”（Rational Approximation of Material Properties）两种。

相对密度法比均匀化方法设计变量少。SIMP法就是在相对密度法基础上提出来的，优化过程中以单元设计变量的大小决定单元取舍，即带有惩罚因子的相对密度法，比相对密度法在消除棋盘格现象、数值稳定性方面有很大的提高。

2.3　其他拓扑方法

其它的结构拓拓扑优化方法主要如下一些。Xie和Steven等基于进化策略的进化结构法。Michael等提出的一种水平集方法（Level set method），优化问题中结构的边界用嵌入到高维尺度函数中的水平集模型来表示，该模型在描述复杂结构的拓扑及边界变化方面具有较好的灵活性。

3 优化中存在的问题

结构优化中易出现的数值不稳定现象一般为棋盘格式、网格依赖和局部极值等。

3.1 棋盘格式

棋盘格式是指结优化过程中单元材质密度周期性高低分布，拓扑呈现为黑白相间，如同棋盘。出现棋盘格式通常为数值模型不存在收敛的有限元解。解决棋盘格式最简单的方法是采用高阶有限单元代替低阶有限单元，增加单元自由度，如采用8节点或9节点单元代替4节点单元，对于均匀化方法，这种方法可在很大程度上避免棋盘格式的出现。其它减轻或避免棋盘格式的方法有：Kikuchi等提出用4个相邻的单元组成一个“超参元”；Haber提出的周长约束法通过限制结构的周长来抑制棋盘格的出现；Petersson等提出局部梯度约束方法，通过引入局部密度变分的梯度约束，使相邻单元的密度变化相对平缓，从而抑制棋盘格式的出现；Sigmund提出了基于图像处理技术的滤波法，通过调整算法每次循环迭代中的设计敏度可以有效地避免棋盘格式的出，这种方法还可以同时解决网格依赖性问题。

3.2 网格依赖性

网格依赖性是指离散或划分的网格尺寸不一样得到解不一样。这类问题有可能是本身不存在解。若确有解存在，常采用减轻或避免网格依赖性的方法有：松弛约束、周长约束、全局或局部梯度约束、独立网格过滤器。

3.3 局部极值

局部极值是指对同一离散问题采用不同的算法得到不同的解。产生原因可能为所选算法不收敛。一般采用连续法以避免出现局部极值，即优化时使用有限步使凸性问题逐渐转变为非凸性设计问题。

4 总结

本文参考了5篇文献，对拓扑优化的方法、优化时存在的问题进行了研究。从总体上来讲，拓扑优化主要是指在特定区域内，满足给定的约束条件，寻求目标函数最小（或最大）的最优材料分布形式，从而确定结构中空洞的数量、位置及其连接形式。其主要优化方法为均匀法和密度法，数学求解模式为OC法和渐近线法，优化过程主要可能出现棋盘格式、网格依赖和局部极值等问题。

结构拓扑优化是结构优化领域较难的问题，目前虽然取得了许多重要成果，但还有许多问题亟待解决。本人认为拓扑优化在方法上还有很大的探索空间，伴随数值计算的改进，拓扑优化在方法也会有所改进，并为更好的减轻或避免数值不稳定提出更好的方法。   

参考文献